Kolejność wykonywania działań .

Wykonując działania w dowolnym zbiorze liczbowym, musisz pamiętań o kolejności wykonywania działań. Najpierw wykonujemy działania w nawiasach. Jeżeli występuje większa liczba nawiasów, zaczynamy od tych, w których nie występują już żadne inne nawiasy. Następnie wykonujemy potęgowanie i pierwiastkowanie, potem mnożenie, dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie. Jeżeli mamy np. samo potęgowanie i pierwiastkowanie, to wykonujemy działania w kolejności od lewej do prawej. 

Można to zapamiętać, korzystając z następującego diagramu:

Działania w zbiorze liczb całkowitych - mnożenie i dzielenie.

MNOŻENIE.

Kiedy mnożymy dwie liczby całkowite o jednakowych znakach, to wynik jest dodatni. Jeżeli jednak mnożymy dwie liczby całkowite o różnych znakach, to wynik jest ujemny. Jeżeli w iloczynie występuje liczba parzysta liczba znaków (-), to wynik jest dodatni, jeśli liczba znaków (-) jest nieparzysta, to wynik jest ujemny.

PRZYKŁADY:

a) -22 razy (-5) = -110
b) -12 razy 6 = -72
c) (-3) razy (-7) razy (-12) razy 5 razy 7 = -(21 razy 12 razy 35) = -8820

DZIELENIE.

Jeżeli dzielimy dwie liczby całkowite (różne od 0) o jednakowych znakach, to wynik jest dodatni. Jeżeli dzielimy dwie liczby całkowite (różne od 0) o różnych znakach, to wynik jest ujemny.

PRZYKŁADY:

a) -55 : (-5) = 11
b) -126 : 3 = -42

Działania w zbiorze liczb całkowitych.

DODAWANIE:

Aby dodać dwie liczby całkowite o tych samych znakach, dodajemy ich wartości bezwzględne, a do ich wyniku dopisujemy taki znak, jaki mają te liczby.
Aby dodać dwie liczby całkowite o różnych znakach, od większej wartości bezwzględnej liczby odejmujemy mniejszą , a do wyniku dopisujemy taki znak, jaki ma liczba o większej wartości bezwzględnej .

Przykłady:

-22+(-5) = -27
-12+30 = 18

ODEJMOWANIE:

Przy odejmowaniu liczb całkowitych pamiętaj, aby zamieścić je na dodawaniu liczby przeciwnej, a następnie postępuj tak, jak w dodawaniu .

Przykłady:

-22-(-5) = (-22)+5 = -17
-12-30 = (-12) + (-30) = -42

Liczby całkowite.

Zbiór liczb całkowitych - oznaczamy literą C - tworzą liczby naturalne i liczby do nich przeciwne.
C = {...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}

Zbiór liczb całkowitych możemy podzielić na zbiór liczb całkowitych dodatnich C, oraz zbiór liczb całkowitych ujemnych C.

Zero nie jest ani dodatnie ani ujemne.

W zbiorze liczb całkowitych wykonalne są działania dodawania, odejmowania i mnożenia . Oznacza to, że suma, różnica i iloczyn dwóch liczb całkowitych jest liczbą całkowitą .

Liczby całkowite możemy przedstawić na osi liczbowej, pamiętając o tym , że liczby przeciwne leżą po przeciwnych stronach od zera w tej samej odległości .

Gdy a oznacza pewną liczbę, to przeciwną do niej jest liczba -a, np. liczbą przeciwną do 2 jest (-2), a liczbą przeciwną do (-5) jest liczba -(-5)=5

Aby omówić działania w zbiorze liczb całkowitych, należy przypomnieć pojęcie wartości bezwzględnej. Wartością bezwzględną liczby x - oznacza |x| - nazywamy odległość tej liczby od zera na osi liczbowej.

Wartość bezwzględna dowolnej liczby jest zawsze liczbą dodatnią.

Przykłady:
• |3| = 3
• |-13| = 13

• |-2/5| = 2/5

• |0| = 0

• |-1,25| = 1,25

NWD i NWW.

Taki rozkład liczby na czynniki pierwsze możemy jednocześnie przeprowadzać dla dwóch różnych liczb. W ten sposób łatwo możemy wyznaczyć NWD - Największy Wspólny Dzielnik liczb i NWW - Najmniejszą Wspólną Wielokrotność liczb.

Zadanie.
Wyznacz NWW i NWD liczb 128 i 160.

1. Sposób:
Wykonujemy jednoczesny rozkład na czynniki pierwsze liczb 128 i 160. Zaczynamy od poszukiwania wspólnych dzielników, będących liczbami pierwszymi . W ten sposób otrzymujemy:
128, 160 : 2 (bo 2 jest najmniejszym wspólnym dzielnikiem liczb 128 i 160)
64, 80 : 2 (bo 2 jest najmniejszym wspólnym dzielnikiem liczb 64 i 80)
32, 40 : 2 (bo 2 jest najmniejszym wspólnym dzielnikiem liczb 32 i 40)
16, 20 : 2 (bo 2 jest najmniejszym wspólnym dzielnikiem liczb 16 i 20)
8, 10 : 2 (bo 2 jest najmniejszym wspólnym dzielnikiem liczb 8 i 10)
4 ,5 : 2 (bo 2 jest najmniejszym dzielnikiem liczby 4)
2, 5 : 2 (bo 2 jest najmniejszym dzielnikiem liczby 2)
1 , 5 : 5 (bo 5 jest najmniejszym dzielnikiem liczby 5)
1, 1 :

I znów tak jak poprzednio dzielenie zastępuje pionową kreskę.

Największy Wspólny Dzielnik otrzymujemy, mnożąc wszystkie wspólne dzielniki pierwsze liczb 128 i 160, czyli:
NWW (128, 160) = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32
Najmniejszą Wspólną Wielokrotność otrzymujemy, mnożąc wszystkie liczby pierwsze otrzymane w rozkładzie na czynniki pierwsze, czyli:
NWW ( 128, 160) = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 5 = 640

2. Sposób:
Aby znaleźć Największy Wspólny Dzielnik liczb 128 i 160, wystarczy wypisać wszystkie dzielniki liczb 128 i 160. Następnie spośród tych dzielników wyznaczyć ten największy z dzielników.
D128 = {1,2,4,8,16,32,64,128}
D160 = {1,2,4,5,8,10,16,20,32,40,80,160}
Zatem NWD (128,160) = 32

Aby znaleźć Najmniejszą Wspólną Wielokrotność, należy wypisać kolejne wielokrotności liczb 128 i 160. Następnie wśród tych wielokrotności należy wyznaczyć tę najmniejszą różną od 0.

W128 = {0,128,256,384,512,640,768,896,...}
W160 = {0,160,320,480,640,800,960,1120,...}
Zatem NWW (128,160) = 640

Rozkład liczby na czynniki pierwsze.

Każdą liczbę naturalną możemy przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych, inaczej mówiąc jest to rozkład liczby na czynniki pierwsze.

Przykłady:
Rozkład liczby 324 na czynniki pierwsze:
324 : 2 ( bo 2 jest najmniejszym dzielnikiem liczby 324, będącym liczbą pierwszą)
162 : 2 ( bo 2 jest najmniejszym dzielnikiem liczby 162, będącym liczbą pierwszą)
81 : 3 ( bo 3 jest najmniejszym dzielnikiem liczby 81, będącym liczbą pierwszą)
27 : 3 ( bo 3 jest najmniejszym dzielnikiem liczby 27, będącym liczbą pierwszą)
9 : 3 ( bo 3 jest najmniejszym dzielnikiem liczby 9, będącym liczbą pierwszą)
3 : 3 ( bo 3 jest najmniejszym dzielnikiem liczby 3, będącym liczbą pierwszą)
1

Zamiast tych znaków dzielenia powinna znajdować się pionowa kreska, ale z racji tego, że nie można tego tak przedstawić, to zapisałam to właśnie w taki sam sposób, co nie zmienia faktu, że tak i tak trzeba to podzielić. ; )

Zatem: 324 = 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 3

Rozkład liczby 1260 na czynniki pierwsze:
1260 : 2
630 : 2
315 : 3
105 : 3
35 : 5
7 : 7
1

Zatem 1260 = 2 * 2 * 3 * 3 * 5 * 7

Cechy podzielności.

Liczba jest podzielna:
- przez 2, jeśli jest parzysta, bądź cyfrą jej jedności jest 0,2,4,6,8;
- przez 3, jeśli suma jej liczb jest podzielna przez 3;
- przez 4, jeżeli liczba utworzona z dwóch ostatnich cyfr tej liczby jest podzielna przez 4;
- przez 5, jeśli cyfra jej jedności to 0,5;
- przez 6, jeśli jest podzielna zarówno przez 2 i 3;
- przez 9, jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 9;
- przez 10, jeśli cyfrą jej jedności jest 0;
- przez 25, jeśli dwie ostatnie jej cyfry to 00, 25, 50, 75.

Przykłady:
- Liczba 321 jest liczbą złożoną, gdyż jej dzielnikami są liczby: 1,3,107,321. Ponadto jest liczbą nieparzystą.
- Liczba 107 jest liczbą pierwszą, gdyż posiada tylko dwa dzielniki: 1 i 107 oraz jest liczbą nieparzystą.
- Liczba 123 456 jest liczbą złożoną, czyli ma więcej niż dwa dzielniki. Liczba 123 456 jest liczbą parzystą, gdyż jest podzielna przez 2.

Zadanie 1.
W liczbie 54612?23 wstaw w miejsce pytajnika taką cyfrę, aby dana liczba była podzielna przez 9.

Rozwiązanie:
Korzystając z cech podzielności przez 9, sumujemy wszystkie cyfry tej liczby, czyli: 5 + 4 + 6 + 1 + 2 + 2 + 3 = 23
Aby dana liczba została podzielona przez 9, otrzymana suma musi być także podzielna przez 9, zatem szukamy liczby większej od 23 i podzielnej przez 9. Najbliższą taką liczbą jest 27.
Zatem: 27 - 23 = 4. Szukaną cyfrą jest 4.

Zadanie 2.
Korzystając z cech podzielności liczb, wykaż, przez jakie liczby jest podzielna liczba 25 624 320.

Rozwiązanie:
Liczba 25 624 320 jest podzielna:
- przez 2, gdyż jest liczbą parzystą, i cyfrą jedności jest 0;
- przez 3, gdyż suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3;
- przez 4, gdyż liczba utworzona z dwóch ostatnich cyfr tej liczby to liczba 20 i jest ona podzielna przez 4;
- przez 5, gdyż cyfrą jedności jest 0;
- przez 6, gdyż jest podzielna przez 2 i 3;
- przez 10, ponieważ liczba jedności to 0.